Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 1.5 x^{2} - 4$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ como uma equação.

$y = 1.5 x^{2} - 4$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 1.5 y^{2} - 4$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $1.5 y^{2} - 4 = x$ .

$1.5 y^{2} - 4 = x$

Etapa 3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$1.5 y^{2} = x + 4$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $1.5 y^{2} = x + 4$ por $1.5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $1.5 y^{2} = x + 4$ por $1.5$ .

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $1.5$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Multiplique por $1$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.3.1.2

Fatore $1.5$ de $1.5$ .

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.3.1.3

Separe as frações.

$y^{2} = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.3.1.4

Divida $1$ por $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.3.1.5

Divida $x$ por $1$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + \frac{4}{1.5}$

Etapa 3.3.3.1.6

Divida $4$ por $1.5$ .

$y^{2} = 0.\overline{6} x + 2.\overline{6}$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ é o inverso de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 4, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$0.\overline{6} x + 2.\overline{6} \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $2.\overline{6}$ dos dois lados da desigualdade.

$0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ por $0.\overline{6}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ por $0.\overline{6}$ .

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.\overline{6}$ .

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Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 2.\overline{6}$ por $0.\overline{6}$ .

$x \geq - 4$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 4, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ não é um inverso de $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ .

Não há inverso

Etapa 6