Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{x - 2}{x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ como uma equação.

$y = \frac{x - 2}{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y - 2}{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y - 2}{y} = x$ .

$\frac{y - 2}{y} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y - 2}{y} = x$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y - 2}{y} = x$ por $y$ .

$\frac{y - 2}{y} y = x y$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 2}{y} y = x y$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y - 2 = x y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$y - 2 - x y = 0$

Etapa 3.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y - x y = 2$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 2$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 2$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 2$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (1 - x) = 2$ por $1 - x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = 2$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{2}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{1 - x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x - 2}{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{1 - (\frac{x - 2}{x})}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x}{x} - \frac{x - 2}{x}}$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - (x - 2)}{x}}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\frac{x - (x - 2)}{x}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - x + 2}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{x - x + 2}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{0 + 2}{x}}$

Etapa 5.2.3.3.4

Some $0$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Etapa 5.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x - 2}{x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{2}{1 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{(\frac{2}{1 - x}) - 2}{\frac{2}{1 - x}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} - 2) (\frac{1 - x}{2})$

Etapa 5.3.4

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (\frac{1 - x}{2})$

Etapa 5.3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.5.1

Combine $- 2$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = (\frac{2}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x}) (\frac{1 - x}{2})$

Etapa 5.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $2$ de $2 - 2 (1 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1) - 2 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.1.2

Fatore $2$ de $- 2 (1 - x)$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1) + 2 (- (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.1.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- (1 - x))$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 \cdot 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.4

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 5.3.6.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + 1 x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (0 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.6.6

Some $0$ e $x$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 (x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.7.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{2}$

Etapa 5.3.7.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Etapa 5.3.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2}{1 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x - 2}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{1 - x}$