Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$ como uma equação.

$y = \log_{3} (x - 4) + 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \log_{3} (y - 4) + 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\log_{3} (y - 4) + 1 = x$ .

$\log_{3} (y - 4) + 1 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\log_{3} (y - 4) = x - 1$

Etapa 3.3

Reescreva $\log_{3} (y - 4) = x - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x - 1} = y - 4$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $y - 4 = 3^{x - 1}$ .

$y - 4 = 3^{x - 1}$

Etapa 3.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = 3^{x - 1} + 4$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$ é o inverso de $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = 3^{(\log_{3} (x - 4) + 1) - 1} + 4$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $3^{(\log_{3} (x - 4) + 1) - 1} + 4$ .

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = 3^{\log_{3} (x - 4) + 0} + 4$

Etapa 5.2.3.2

Some $\log_{3} (x - 4)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = 3^{\log_{3} (x - 4)} + 4$

Etapa 5.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = x - 4 + 4$

Etapa 5.2.5

Combine os termos opostos em $x - 4 + 4$ .

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Etapa 5.2.5.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = x + 0$

Etapa 5.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (3^{x - 1} + 4)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = \log_{3} ((3^{x - 1} + 4) - 4) + 1$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $\log_{3} ((3^{x - 1} + 4) - 4) + 1$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = \log_{3} (3^{x - 1} + 0) + 1$

Etapa 5.3.3.2

Some $3^{x - 1}$ e $0$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = \log_{3} (3^{x - 1}) + 1$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Use as regras logarítmicas para mover $x - 1$ para fora do expoente.

$f (3^{x - 1} + 4) = (x - 1) \log_{3} (3) + 1$

Etapa 5.3.4.2

A base do logaritmo $3$ de $3$ é $1$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Etapa 5.3.4.3

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = x - 1 + 1$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.3.5.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$ é o inverso de $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$