Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ como uma equação.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Etapa 3.3.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ por $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Etapa 3.3.1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Etapa 3.3.1.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1

Cancele o fator comum de $y + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Etapa 3.3.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Etapa 3.3.1.4.2

Cancele o fator comum de $y - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Etapa 3.3.1.4.2.2

Divida $8 y$ por $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $8 y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Etapa 3.4.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4.3

Substitua os valores $a = x$ , $b = - 8$ e $c = - 64 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Etapa 3.4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.3.1

Mova $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.5

Fatore $64$ de $64 + 256 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.5.1

Fatore $64$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.5.2

Fatore $64$ de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.5.3

Fatore $64$ de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.6

Reescreva $64 (1 + 4 x^{2})$ como $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1.6.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.3.1

Mova $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.5

Fatore $64$ de $64 + 256 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.5.1

Fatore $64$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.5.2

Fatore $64$ de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.5.3

Fatore $64$ de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.6

Reescreva $64 (1 + 4 x^{2})$ como $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.6.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.5.2

Simplifique $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.5.4

Fatore $4$ de $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.4.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.5.4.2

Fatore $4$ de $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1.3.1

Mova $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.5

Fatore $64$ de $64 + 256 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1.5.1

Fatore $64$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.5.2

Fatore $64$ de $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.5.3

Fatore $64$ de $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.6

Reescreva $64 (1 + 4 x^{2})$ como $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1.6.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Etapa 3.4.6.2

Simplifique $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.6.4

Fatore $4$ de $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.4.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.6.4.2

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Etapa 3.4.6.4.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Etapa 3.4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$4 x^{2} \geq - 1$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $4 x^{2} \geq - 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} \geq - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Etapa 5.3.2.3

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.3.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ não é um inverso de $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Não há inverso

Etapa 6