Matemática discreta Exemplos

$f (x) = \frac{10}{x - 5}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ como uma equação.

$y = \frac{10}{x - 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{10}{y - 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{10}{y - 5} = x$ .

$\frac{10}{y - 5} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 5, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y - 5, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y - 5$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{10}{y - 5} = x$ por $y - 5$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{10}{y - 5} = x$ por $y - 5$ .

$\frac{10}{y - 5} (y - 5) = x (y - 5)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{y - 5} (y - 5) = x (y - 5)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$10 = x (y - 5)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 = x y + x \cdot - 5$

Etapa 3.3.3.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$10 = x y - 5 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $x y - 5 x = 10$ .

$x y - 5 x = 10$

Etapa 3.4.2

Some $5 x$ aos dois lados da equação.

$x y = 10 + 5 x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $x y = 10 + 5 x$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $x y = 10 + 5 x$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{10}{x} + \frac{5 x}{x}$

Etapa 3.4.3.3.1.2

Divida $5$ por $1$ .

$y = \frac{10}{x} + 5$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$ é o inverso de $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{10}{x - 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = \frac{10}{\frac{10}{x - 5}} + 5$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = 10 (\frac{x - 5}{10}) + 5$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = 10 (\frac{x - 5}{10}) + 5$

Etapa 5.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x - 5 + 5$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 5 + 5$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{10}{x - 5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{10}{x} + 5)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{10}{(\frac{10}{x} + 5) - 5}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $10$ e $(\frac{10}{x} + 5) - 5$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $5$ de $10$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{(\frac{10}{x} + 5) - 5}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $5$ de $\frac{10}{x}$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x}) + 5 - 5}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $5$ de $5$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x}) + 5 \cdot 1 - 5}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $5$ de $5 \frac{2}{x} + 5 \cdot 1$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x} + 1) - 5}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $5$ de $- 5$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x} + 1) + 5 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.3.2.5

Fatore $5$ de $5 (\frac{2}{x} + 1) + 5 (- 1)$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 (2)}{5 (\frac{2}{x} + 1 - 1)}$

Etapa 5.3.3.2.6

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{5 \cdot 2}{5 (\frac{2}{x} + 1 - 1)}$

Etapa 5.3.3.2.7

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 1 - 1}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

Etapa 5.3.4.2

Some $\frac{2}{x}$ e $0$ .

$f (\frac{10}{x} + 5) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{10}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10}{x} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10}{x} + 5) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$ é o inverso de $f (x) = \frac{10}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10}{x} + 5$