Matemática discreta Exemplos

$y = x^{3} + 4$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = y^{3} + 4$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $y^{3} + 4 = x$ .

$y^{3} + 4 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y^{3} = x - 4$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{x - 4}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$ é o inverso de $f (x) = x^{3} + 4$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (x^{3} + 4)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = \sqrt[3]{(x^{3} + 4) - 4}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Etapa 4.2.4

Some $x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Etapa 4.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (x^{3} + 4) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\sqrt[3]{x - 4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(\sqrt[3]{x - 4})}^{3} + 4$

Etapa 4.3.3

Reescreva ${\sqrt[3]{x - 4}}^{3}$ como $x - 4$ .

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Etapa 4.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 4$

Etapa 4.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 4$

Etapa 4.3.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{3}{3}} + 4$

Etapa 4.3.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = {(x - 4)}^{\frac{3}{3}} + 4$

Etapa 4.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = (x - 4) + 4$

Etapa 4.3.3.5

Simplifique.

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = x - 4 + 4$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x - 4 + 4$ .

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Etapa 4.3.4.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 4}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$ é o inverso de $f (x) = x^{3} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 4}$