Matemática discreta Exemplos

$y = \sqrt{4 x} - 2$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{4 y} - 2$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{4 y} - 2 = x$ .

$\sqrt{4 y} - 2 = x$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{4 y} = x + 2$

Etapa 2.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 y}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 y}$ como ${(4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 y)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Simplifique.

$4 y = {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique ${(x + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 y = (x + 2) (x + 2)$

Etapa 2.4.3.1.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.3.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$4 y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Etapa 2.4.3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Etapa 2.4.3.1.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.3.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.3.1.2

Divida $4$ por $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.2

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.6

Avalie o expoente.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.7

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.7.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.7.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.7.3

Fatore $2$ de $2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}} - 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.8

Aplique a regra do produto a $2 (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{2^{2} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.1.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.3

Divida ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.4

Reescreva ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.5

Expanda $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.6.1.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.6.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.1.3

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.2

Simplifique $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.4

Reescreva $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ como $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.5

Reescreva $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ como $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.6.2

Subtraia $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{2^{2} x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.4.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 \sqrt{x} - 2 + 1$

Etapa 4.2.5

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$

Etapa 4.2.5.2

Combine os termos opostos em $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 2 \sqrt{x}$

Etapa 4.2.5.2.2

Some $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)} - 2$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{2^{2}} + x + 1)} - 2$

Etapa 4.3.3.1.2

Reescreva $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1)} - 2$

Etapa 4.3.3.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1^{2})} - 2$

Etapa 4.3.3.1.4

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$x = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1$

Etapa 4.3.3.1.5

Reescreva o polinômio.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^{2})} - 2$

Etapa 4.3.3.1.6

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}} - 2$

Etapa 4.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}} - 2$

Etapa 4.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x + 2}{2})}^{2}} - 2$

Etapa 4.3.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{x + 2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{2^{2}})} - 2$

Etapa 4.3.3.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{4})} - 2$

Etapa 4.3.3.6

Combine $4$ e $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Etapa 4.3.3.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.7.1

Reduza a expressão $\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.7.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Etapa 4.3.3.7.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{{(x + 2)}^{2}}{1}} - 2$

Etapa 4.3.3.7.2

Divida ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Etapa 4.3.3.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 2 - 2$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$