Matemática discreta Exemplos

$y = 9^{x}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 9^{y}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $9^{y} = x$ .

$9^{y} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (9^{y}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (9^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (9) = \ln (x)$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $y \ln (9) = \ln (x)$ por $\ln (9)$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $y \ln (9) = \ln (x)$ por $\ln (9)$ .

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (9)$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ é o inverso de $f (x) = 9^{x}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} \cdot 9^{x}$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{\ln (9^{x})}{\ln (9)}$

Etapa 4.2.3

Expanda $\ln (9^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $\ln (9)$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\frac{\ln (x)}{\ln (9)}}$

Etapa 4.3.3

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\log_{9} (x)}$

Etapa 4.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ é o inverso de $f (x) = 9^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$