Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 1.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Etapa 1.2.2.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$4 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Etapa 1.2.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 27 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Etapa 1.2.2.3.3

Multiplique $4$ por $27$ .

$108 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Etapa 1.2.2.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$108 - 9 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 3$

Etapa 1.2.2.3.5

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$108 - 81 - 8 \cdot 3 - 3$

Etapa 1.2.2.3.6

Subtraia $81$ de $108$ .

$27 - 8 \cdot 3 - 3$

Etapa 1.2.2.3.7

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$27 - 24 - 3$

Etapa 1.2.2.3.8

Subtraia $24$ de $27$ .

$3 - 3$

Etapa 1.2.2.3.9

Subtraia $3$ de $3$ .

$0$

Etapa 1.2.2.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3}{x - 3}$

Etapa 1.2.2.5

Divida $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ por $x - 3$ .

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Etapa 1.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x$

$3$

Etapa 1.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$

Etapa 1.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			+	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 1.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 1.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 1.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 1.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 9 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 1.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$

Etapa 1.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Etapa 1.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Etapa 1.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							+	$x$	-	$3$

Etapa 1.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 3$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$

Etapa 1.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$
										$0$

Etapa 1.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 1.2.2.6

Escreva $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.5

Defina $4 x^{2} + 3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $4 x^{2} + 3 x + 1$ como igual a $0$ .

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Etapa 1.2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{7})}{8}$

Etapa 1.2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{7})}{8}$

Etapa 1.2.5.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{7})}{8}$

Etapa 1.2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{7})}{8}$

Etapa 1.2.5.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(3, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2.4

Simplifique $4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2.4.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2.4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Etapa 2.2.4.1.5

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 3$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 3$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 3$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$y = - 3$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 3)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(3, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 3)$

Etapa 4