Matemática discreta Exemplos

$f (x) = 4 x^{2} + 5 x - 6$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (4)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{5}{2 (4)}$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = - \frac{5}{8}$

Etapa 3

Avalie $f (- \frac{5}{8})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{5}{8}$ na expressão.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 {(- \frac{5}{8})}^{2} + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{8})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (1 (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $\frac{5^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{5^{2}}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{64}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Fatore $4$ de $64$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 (16)}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 \cdot 16}) + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + 5 (- \frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $5 (- \frac{5}{8})$ .

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Etapa 3.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - 5 (\frac{5}{8}) - 6$

Etapa 3.2.1.7.2

Combine $- 5$ e $\frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{8} - 6$

Etapa 3.2.1.7.3

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 25}{8} - 6$

Etapa 3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25}{8} - 6$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $\frac{25}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - (\frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{25}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} - 6$

Etapa 3.2.2.3

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.2.2.6

Reordene os fatores de $8 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.2.2.7

Multiplique $2$ por $8$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{16} + \frac{- 6 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 25$ por $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $- 6$ por $16$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 50 - 96}{16}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.5.1

Subtraia $50$ de $25$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{- 25 - 96}{16}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $96$ de $- 25$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{- 121}{16}$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{5}{8}) = - \frac{121}{16}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{121}{16}$ .

$- \frac{121}{16}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- \frac{5}{8}, - \frac{121}{16})$

Etapa 5