Matemática discreta Exemplos

$f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6$

Etapa 1

Some $- x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6$

Etapa 2

Encontre cada combinação de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

Etapa 3

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 3.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 3.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 3.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$

Etapa 3.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$	$- 14$

Etapa 3.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 14)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(14)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$

Etapa 3.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$	$20$

Etapa 3.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Etapa 3.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

Etapa 4

Como $- 1 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 1$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 1$

Etapa 5

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{1}{5}}$ quando $x = - \frac{1}{5}$ .

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Etapa 5.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 5.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 5.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- \frac{1}{5})$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$

Etapa 5.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$	$- 10$

Etapa 5.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 10)$ pelo divisor $(- \frac{1}{5})$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$

Etapa 5.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$	$8$

Etapa 5.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 10 + \frac{8}{x + \frac{1}{5}}$

Etapa 5.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}$

Etapa 6

Como $- \frac{1}{5} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{1}{5}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{1}{5}$

Etapa 7

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$ quando $x = 2$ .

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Etapa 7.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 7.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 7.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$

Etapa 7.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$	$1$

Etapa 7.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$

Etapa 7.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$	$8$

Etapa 7.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Etapa 7.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

Etapa 8

Como $2 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $2$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $2$

Etapa 9

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 2}$ quando $x = - 2$ .

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Etapa 9.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 9.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 9.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$

Etapa 9.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$	$- 19$

Etapa 9.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 19)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(38)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$

Etapa 9.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$	$44$

Etapa 9.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Etapa 9.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

Etapa 10

Como $- 2 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 2$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 2$

Etapa 11

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{2}{5}}$ quando $x = - \frac{2}{5}$ .

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Etapa 11.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 11.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 11.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- \frac{2}{5})$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$

Etapa 11.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$	$- 11$

Etapa 11.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 11)$ pelo divisor $(- \frac{2}{5})$ e coloque o resultado de $(\frac{22}{5})$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$

Etapa 11.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$	$\frac{52}{5}$

Etapa 11.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 11 + \frac{\frac{52}{5}}{x + \frac{2}{5}}$

Etapa 11.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}$

Etapa 12

Como $- \frac{2}{5} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{2}{5}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{2}{5}$

Etapa 13

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 3}$ quando $x = 3$ .

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Etapa 13.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 13.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 13.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$

Etapa 13.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$	$6$

Etapa 13.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(6)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(18)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$

Etapa 13.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$	$24$

Etapa 13.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Etapa 13.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

Etapa 14

Como $3 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $3$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $3$

Etapa 15

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 3}$ quando $x = - 3$ .

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Etapa 15.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 15.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 15.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$

Etapa 15.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$	$- 24$

Etapa 15.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 24)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(72)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$

Etapa 15.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$	$78$

Etapa 15.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Etapa 15.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

Etapa 16

Como $- 3 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 3$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 3$

Etapa 17

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{3}{5}}$ quando $x = - \frac{3}{5}$ .

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Etapa 17.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 17.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 17.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- \frac{3}{5})$ e coloque o resultado de $(- 3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$

Etapa 17.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$	$- 12$

Etapa 17.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 12)$ pelo divisor $(- \frac{3}{5})$ e coloque o resultado de $(\frac{36}{5})$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$

Etapa 17.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$	$\frac{66}{5}$

Etapa 17.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 12 + \frac{\frac{66}{5}}{x + \frac{3}{5}}$

Etapa 17.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 12 + \frac{66}{5 x + 3}$

Etapa 18

Como $- \frac{3}{5} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{3}{5}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{3}{5}$

Etapa 19

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 6}$ quando $x = 6$ .

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Etapa 19.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$6$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 19.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 19.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(6)$ e coloque o resultado de $(30)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$

Etapa 19.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$	$21$

Etapa 19.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(21)$ pelo divisor $(6)$ e coloque o resultado de $(126)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$

Etapa 19.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$	$132$

Etapa 19.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Etapa 19.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

Etapa 20

Como $6 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $6$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $6$

Etapa 21

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 6}$ quando $x = - 6$ .

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Etapa 21.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 21.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 21.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- 6)$ e coloque o resultado de $(- 30)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$

Etapa 21.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$	$- 39$

Etapa 21.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 39)$ pelo divisor $(- 6)$ e coloque o resultado de $(234)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$

Etapa 21.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$	$240$

Etapa 21.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Etapa 21.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

Etapa 22

Como $- 6 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 6$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 6$

Etapa 23

Aplique a divisão sintética em $\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{6}{5}}$ quando $x = - \frac{6}{5}$ .

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Etapa 23.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

Etapa 23.2

O primeiro número no dividendo $(5)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

Etapa 23.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- \frac{6}{5})$ e coloque o resultado de $(- 6)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 9)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$

Etapa 23.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$	$- 15$

Etapa 23.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 15)$ pelo divisor $(- \frac{6}{5})$ e coloque o resultado de $(18)$ sob o próximo termo no dividendo $(6)$ .

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$

Etapa 23.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$	$24$

Etapa 23.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(5) x - 15 + \frac{24}{x + \frac{6}{5}}$

Etapa 23.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$5 x - 15 + \frac{120}{5 x + 6}$

Etapa 24

Como $- \frac{6}{5} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{6}{5}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{6}{5}$

Etapa 25

Determine os limites superior e inferior.

Limites superiores: $2, 3, 6$

Limites inferiores: $- 1, - \frac{1}{5}, - 2, - \frac{2}{5}, - 3, - \frac{3}{5}, - 6, - \frac{6}{5}$

Etapa 26