Matemática discreta Exemplos

${(1 + 2 i)}^{3}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(1 + 2 i)}^{3}$ , $n = 3$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $4$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $1$ e $b$ $2 i$ na expressão.

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.8

Avalie o expoente.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.10

Aplique a regra do produto a $2 i$ .

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.12

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.13

Multiplique $3 (4 \cdot - 1)$ .

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Etapa 4.1.13.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.13.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.14

Multiplique $1$ por ${(1)}^{0}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.14.1

Multiplique $1$ por ${(1)}^{0}$ .

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Etapa 4.1.14.1.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.14.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.14.2

Some $1$ e $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.15

Simplifique $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Etapa 4.1.16

Aplique a regra do produto a $2 i$ .

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Etapa 4.1.17

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Etapa 4.1.18

Fatore $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Etapa 4.1.19

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Etapa 4.1.20

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Etapa 4.1.21

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Etapa 4.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $12$ de $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Etapa 4.2.2

Subtraia $8 i$ de $6 i$ .

$- 11 - 2 i$