Matemática discreta Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 36$ , $x + y = 4$

Etapa 1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x = 4 - y$

$x^{2} + y^{2} = 36$

Etapa 2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $4 - y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $x^{2} + y^{2} = 36$ por $4 - y$ .

${(4 - y)}^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${(4 - y)}^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva ${(4 - y)}^{2}$ como $(4 - y) (4 - y)$ .

$(4 - y) (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.2

Expanda $(4 - y) (4 - y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (4 - y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y (4 - y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$4 \cdot 4 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 + 4 (- y) - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 - 4 y - y \cdot 4 - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$16 - 4 y - 4 y - y (- y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1.5.1

Mova $y$ .

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$16 - 4 y - 4 y + 1 y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 4 y - 4 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Subtraia $4 y$ de $- 4 y$ .

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + y^{2} + y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 2.2.1.2

Some $y^{2}$ e $y^{2}$ .

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

$16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$

$x = 4 - y$

Etapa 3

Resolva $y$ em $16 - 8 y + 2 y^{2} = 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$16 - 8 y + 2 y^{2} - 36 = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.2

Subtraia $36$ de $16$ .

$- 8 y + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $2$ de $- 8 y + 2 y^{2} - 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 8 y$ .

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (- 4 y) + 2 (y^{2}) - 20 = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $2$ de $- 20$ .

$2 (- 4 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.3.1.4

Fatore $2$ de $2 (- 4 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (- 4 y + y^{2}) + 2 \cdot - 10$ .

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (- 4 y + y^{2} - 10) = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.3.2

Reordene os termos.

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

$2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $2 (y^{2} - 4 y - 10) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (y^{2} - 4 y - 10)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.4.2.1.2

Divida $y^{2} - 4 y - 10$ por $1$ .

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = \frac{0}{2}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

$y^{2} - 4 y - 10 = 0$

$x = 4 - y$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 10$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.1.3

Some $16$ e $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.1.3

Some $16$ e $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 10$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.1.3

Some $16$ e $40$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.9.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Etapa 3.10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

$y = 2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - y$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $2 + \sqrt{14}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 4 - y$ por $2 + \sqrt{14}$ .

$x = 4 - (2 + \sqrt{14})$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique $4 - (2 + \sqrt{14})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 4 - 1 \cdot 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Etapa 4.2.1.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 - \sqrt{14}$

$y = 2 + \sqrt{14}$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $2 - \sqrt{14}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 4 - y$ por $2 - \sqrt{14}$ .

$x = 4 - (2 - \sqrt{14})$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique $4 - (2 - \sqrt{14})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 4 - 1 \cdot 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Etapa 5.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Etapa 5.2.1.1.3

Multiplique $- - \sqrt{14}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 4 - 2 + 1 \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Multiplique $\sqrt{14}$ por $1$ .

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 4 - 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}$

$y = 2 - \sqrt{14}$

Etapa 6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14})$

$(2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma do ponto:

$(2 - \sqrt{14}, 2 + \sqrt{14}), (2 + \sqrt{14}, 2 - \sqrt{14})$

Forma da equação:

$x = 2 - \sqrt{14}, y = 2 + \sqrt{14}$

$x = 2 + \sqrt{14}, y = 2 - \sqrt{14}$

Etapa 8