Matemática discreta Exemplos

$x^{2} + y^{2} = 104$ , $x - y = 8$

Etapa 1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x = 8 + y$

$x^{2} + y^{2} = 104$

Etapa 2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $8 + y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $x^{2} + y^{2} = 104$ por $8 + y$ .

${(8 + y)}^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique ${(8 + y)}^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva ${(8 + y)}^{2}$ como $(8 + y) (8 + y)$ .

$(8 + y) (8 + y) + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.1.2

Expanda $(8 + y) (8 + y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (8 + y) + y (8 + y) + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 y + y (8 + y) + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 y + y \cdot 8 + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$8 \cdot 8 + 8 y + y \cdot 8 + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$64 + 8 y + y \cdot 8 + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.2

Mova $8$ para a esquerda de $y$ .

$64 + 8 y + 8 \cdot y + y \cdot y + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.1.3.1.3

Multiplique $y$ por $y$ .

$64 + 8 y + 8 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 8 y + 8 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Some $8 y$ e $8 y$ .

$64 + 16 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + y^{2} + y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 2.2.1.2

Some $y^{2}$ e $y^{2}$ .

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

$64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$

$x = 8 + y$

Etapa 3

Resolva $y$ em $64 + 16 y + 2 y^{2} = 104$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $104$ dos dois lados da equação.

$64 + 16 y + 2 y^{2} - 104 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.2

Subtraia $104$ de $64$ .

$16 y + 2 y^{2} - 40 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Fatore $2$ de $16 y + 2 y^{2} - 40$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $2$ de $16 y$ .

$2 (8 y) + 2 y^{2} - 40 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (8 y) + 2 (y^{2}) - 40 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $2$ de $- 40$ .

$2 (8 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 20 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.1.4

Fatore $2$ de $2 (8 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (8 y + y^{2}) + 2 \cdot - 20 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (8 y + y^{2}) + 2 \cdot - 20$ .

$2 (8 y + y^{2} - 20) = 0$

$x = 8 + y$

$2 (8 y + y^{2} - 20) = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.2

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$2 (8 u + u^{2} - 20) = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.3

Fatore $8 u + u^{2} - 20$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $8$ .

$- 2, 10$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((u - 2) (u + 10)) = 0$

$x = 8 + y$

$2 ((u - 2) (u + 10)) = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.4

Fatore.

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Etapa 3.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 ((y - 2) (y + 10)) = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (y - 2) (y + 10) = 0$

$x = 8 + y$

$2 (y - 2) (y + 10) = 0$

$x = 8 + y$

$2 (y - 2) (y + 10) = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 10 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.5

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

$x = 8 + y$

$y = 2$

$x = 8 + y$

Etapa 3.6

Defina $y + 10$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $y + 10$ como igual a $0$ .

$y + 10 = 0$

$x = 8 + y$

Etapa 3.6.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$y = - 10$

$x = 8 + y$

$y = - 10$

$x = 8 + y$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 (y - 2) (y + 10) = 0$ verdadeiro.

$y = 2, - 10$

$x = 8 + y$

$y = 2, - 10$

$x = 8 + y$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 8 + y$ por $2$ .

$x = 8 + 2$

$y = 2$

Etapa 4.2

Simplifique $x = 8 + 2$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.1

Remova os parênteses.

$x = 8 + 2$

$y = 2$

$x = 8 + 2$

$y = 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

Some $8$ e $2$ .

$x = 10$

$y = 2$

$x = 10$

$y = 2$

$x = 10$

$y = 2$

$x = 10$

$y = 2$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 10$ em cada equação.

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Etapa 5.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = 8 + y$ por $- 10$ .

$x = 8 - 10$

$y = - 10$

Etapa 5.2

Simplifique $x = 8 - 10$ .

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Remova os parênteses.

$x = 8 - 10$

$y = - 10$

$x = 8 - 10$

$y = - 10$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $10$ de $8$ .

$x = - 2$

$y = - 10$

$x = - 2$

$y = - 10$

$x = - 2$

$y = - 10$

$x = - 2$

$y = - 10$

Etapa 6

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(10, 2)$

$(- 2, - 10)$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma do ponto:

$(10, 2), (- 2, - 10)$

Forma da equação:

$x = 10, y = 2$

$x = - 2, y = - 10$

Etapa 8