Matemática discreta Exemplos

$9 x^{4} + 98 x^{2} - 11$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$9 u^{2} + 98 u - 11 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot - 11 = - 99$ e cuja soma é $b = 98$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $98$ de $98 u$ .

$9 u^{2} + 98 (u) - 11 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $98$ como $- 1$ mais $99$

$9 u^{2} + (- 1 + 99) u - 11 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 u^{2} - 1 u + 99 u - 11 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(9 u^{2} - 1 u) + 99 u - 11 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (9 u - 1) + 11 (9 u - 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u + 11) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u + 11 = 0$

Etapa 4

Defina $9 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $9 u - 1$ como igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $9 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$9 u = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $9 u = 1$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $9 u = 1$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Etapa 5

Defina $u + 11$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u + 11$ como igual a $0$ .

$u + 11 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$u = - 11$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(9 u - 1) (u + 11) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{9}, - 11$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1}{9}$

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{9}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Etapa 9.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 9.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{3}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 11$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 11$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 11}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 11}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (11)}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$

Etapa 11.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{11}$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{11}$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{11}$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Etapa 12

A solução para $9 x^{4} + 98 x^{2} - 11 = 0$ é $x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, i \sqrt{11}, - i \sqrt{11}$

Etapa 13