Matemática discreta Exemplos

$\frac{x + 5}{2 x} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 5$

Etapa 5

Consolide as soluções.

$x = 0, - 5$

Etapa 6

Encontre o domínio de $\frac{x + 5}{2 x}$ .

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{x + 5}{2 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x = 0$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{(- 8) + 5}{2 (- 8)} < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $0.1875$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{(- 2) + 5}{2 (- 2)} < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 0.75$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{(2) + 5}{2 (2)} < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $1.75$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < 0$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 5, 0)$

Etapa 11