Matemática discreta Exemplos

$a^{3} - 25 a < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$a^{3} - 25 a = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $a$ de $a^{3} - 25 a$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $a$ de $a^{3}$ .

$a \cdot a^{2} - 25 a = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $a$ de $- 25 a$ .

$a \cdot a^{2} + a \cdot - 25 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $a$ de $a \cdot a^{2} + a \cdot - 25$ .

$a (a^{2} - 25) = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$a (a^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 2.3

Fatore.

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Etapa 2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = 5$ .

$a ((a + 5) (a - 5)) = 0$

Etapa 2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$a (a + 5) (a - 5) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$a = 0$

$a + 5 = 0$

$a - 5 = 0$

Etapa 4

Defina $a$ como igual a $0$ .

$a = 0$

Etapa 5

Defina $a + 5$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 5.1

Defina $a + 5$ como igual a $0$ .

$a + 5 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$a = - 5$

Etapa 6

Defina $a - 5$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 6.1

Defina $a - 5$ como igual a $0$ .

$a - 5 = 0$

Etapa 6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$a = 5$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $a (a + 5) (a - 5) = 0$ verdadeiro.

$a = 0, - 5, 5$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$a < - 5$

$- 5 < a < 0$

$0 < a < 5$

$a > 5$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $a < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $a < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$a = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $a$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{3} - 25 \cdot - 8 < 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 312$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < a < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < a < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$a = - 2$

Etapa 9.2.2

Substitua $a$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{3} - 25 \cdot - 2 < 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $42$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $0 < a < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < a < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$a = 2$

Etapa 9.3.2

Substitua $a$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{3} - 25 \cdot 2 < 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 42$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $a > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $a > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$a = 8$

Etapa 9.4.2

Substitua $a$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{3} - 25 \cdot 8 < 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $312$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$a < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < a < 0$ Falso

$0 < a < 5$ Verdadeiro

$a > 5$ Falso

$a < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < a < 0$ Falso

$0 < a < 5$ Verdadeiro

$a > 5$ Falso

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$a < - 5$ ou $0 < a < 5$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Etapa 12