Matemática discreta Exemplos

$x^{2} - 9 x + 14 < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - 9 x + 14$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $14$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 7, - 2$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 4.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 2$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 14 < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $14$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 14 < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

${(10)}^{2} - 9 \cdot 10 + 14 < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $24$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 7$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(2, 7)$

Etapa 11