Matemática discreta Exemplos

$3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$0$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$3 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $b = 0$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Etapa 4.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 2 (0)$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 + 0 + 2 (0)$

Etapa 4.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 4.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 5

Como $0$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $b + 0$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b}{b + 0}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

	$3$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$	$- 5$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 5)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 b^{2} + - 5 b + 2$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$3 b^{2} - 5 b + 2$

Etapa 7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 b$ .

$(b + 0) + 3 b^{2} - 5 b + 2$

Etapa 7.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 2$ mais $- 3$

$(b + 0) + 3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(b + 0) + 3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(b + 0) (3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2$

Etapa 7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(b + 0) + b (3 b - 2) - (3 b - 2)$

Etapa 7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 b - 2$ .

$(b + 0) + (3 b - 2) (b - 1)$

$(b + 0) (3 b - 2) (b - 1)$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $b$ de $3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $b$ de $3 b^{3}$ .

$b (3 b^{2}) - 5 b^{2} + 2 b = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore $b$ de $- 5 b^{2}$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + 2 b = 0$

Etapa 8.1.3

Fatore $b$ de $2 b$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Etapa 8.1.4

Fatore $b$ de $b (3 b^{2}) + b (- 5 b)$ .

$b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Etapa 8.1.5

Fatore $b$ de $b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Etapa 8.2

Fatore.

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Etapa 8.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 b$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 2$ mais $- 3$

$b (3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2) = 0$

Etapa 8.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$b (3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2) = 0$

Etapa 8.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$b ((3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2) = 0$

Etapa 8.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$b (b (3 b - 2) - (3 b - 2)) = 0$

Etapa 8.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 b - 2$ .

$b ((3 b - 2) (b - 1)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$b (3 b - 2) (b - 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$b = 0$

$3 b - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

Etapa 10

Defina $b$ como igual a $0$ .

$b = 0$

Etapa 11

Defina $3 b - 2$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 11.1

Defina $3 b - 2$ como igual a $0$ .

$3 b - 2 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $3 b - 2 = 0$ para $b$ .

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Etapa 11.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 b = 2$

Etapa 11.2.2

Divida cada termo em $3 b = 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 11.2.2.1

Divida cada termo em $3 b = 2$ por $3$ .

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 11.2.2.2.1.2

Divida $b$ por $1$ .

$b = \frac{2}{3}$

Etapa 12

Defina $b - 1$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 12.1

Defina $b - 1$ como igual a $0$ .

$b - 1 = 0$

Etapa 12.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$b = 1$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $b (3 b - 2) (b - 1) = 0$ verdadeiro.

$b = 0, \frac{2}{3}, 1$

Etapa 14