Matemática discreta Exemplos

$2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1 - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 3 {(1)}^{3} + 3 (1) - 2$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 - 3 \cdot 1 + 3 (1) - 2$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$2 - 3 + 3 (1) - 2$

Etapa 4.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 - 3 + 3 - 2$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ de $2$ .

$- 1 + 3 - 2$

Etapa 4.2.2

Some $- 1$ e $3$ .

$2 - 2$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$
	$2$	$- 1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$
	$2$	$- 1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$	$2$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 3$	$0$	$3$	$- 2$
		$2$	$- 1$	$- 1$	$2$
	$2$	$- 1$	$- 1$	$2$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 1) x + 2$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{3} - x^{2} - x + 2$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore $2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Etapa 7.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$2 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

Etapa 7.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 - {(- 1)}^{2} + 1 + 2$

Etapa 7.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 2 - 1 \cdot 1 + 1 + 2$

Etapa 7.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 - 1 + 1 + 2$

Etapa 7.1.3.6

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$- 3 + 1 + 2$

Etapa 7.1.3.7

Some $- 3$ e $1$ .

$- 2 + 2$

Etapa 7.1.3.8

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 7.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - x + 2}{x + 1}$

Etapa 7.1.5

Divida $2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ por $x + 1$ .

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Etapa 7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$

Etapa 7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Etapa 7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$

Etapa 7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$

Etapa 7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Etapa 7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x + 2$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Etapa 7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Etapa 7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 3 x + 2$

Etapa 7.1.6

Escreva $2 x^{3} - x^{2} - x + 2$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (2 x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.4

Defina $2 x^{2} - 3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $2 x^{2} - 3 x + 2$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.4.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.4.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.5.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.4.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (2 x^{2} - 3 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 1) (x + 1) (x - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}) (x - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $2 x^{4} - 3 x^{3} + 3 x - 2$ .

$x = 1, - 1, \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 10