Matemática discreta Exemplos

$2 x^{10} - 6 x^{9} + 10 x^{9} - 126 x^{8}$

Etapa 1

Some $- 6 x^{9}$ e $10 x^{9}$ .

$y = 2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$

Etapa 2

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 3

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$0$

Etapa 4

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(0)}^{10} + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Etapa 5

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 0$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 \cdot 0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{9} - 126 {(0)}^{8}$

Etapa 5.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - 126 {(0)}^{8}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + 0 - 126 {(0)}^{8}$

Etapa 5.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 - 126 \cdot 0$

Etapa 5.1.6

Multiplique $- 126$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 5.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 6

Como $0$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 0$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}}{x + 0}$

Etapa 7

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$2$

Etapa 7.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$

Etapa 7.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$2$	$4$

Etapa 7.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 126)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$

Etapa 7.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Etapa 7.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 126)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$

Etapa 7.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Etapa 7.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$

Etapa 7.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Etapa 7.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$

Etapa 7.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.13

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.14

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.15

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.16

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.17

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.18

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.19

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.20

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.21

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.22

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$2$	$4$	$- 126$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 7.23

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7} + 0 x^{6} + 0 x^{5} + 0 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x + 0$

Etapa 7.24

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$

Etapa 8

Fatore $2 x^{7}$ de $2 x^{9} + 4 x^{8} - 126 x^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $2 x^{7}$ de $2 x^{9}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 4 x^{8} - 126 x^{7})$

Etapa 8.2

Fatore $2 x^{7}$ de $4 x^{8}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) - 126 x^{7})$

Etapa 8.3

Fatore $2 x^{7}$ de $- 126 x^{7}$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Etapa 8.4

Fatore $2 x^{7}$ de $2 x^{7} (x^{2}) + 2 x^{7} (2 x)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63))$

Etapa 8.5

Fatore $2 x^{7}$ de $2 x^{7} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{7} (- 63)$ .

$(x + 0) (2 x^{7} (x^{2} + 2 x - 63))$

Etapa 9

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 63$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 63$ e cuja soma é $2$ .

$- 7, 9$

Etapa 9.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 0) (2 x^{7} ((x - 7) (x + 9)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 0) (2 x^{7} (x - 7) (x + 9))$

Etapa 10

Some $- 6 x^{9}$ e $10 x^{9}$ .

$2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Fatore $2 x^{8}$ de $2 x^{10} + 4 x^{9} - 126 x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Fatore $2 x^{8}$ de $2 x^{10}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 4 x^{9} - 126 x^{8} = 0$

Etapa 11.1.2

Fatore $2 x^{8}$ de $4 x^{9}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) - 126 x^{8} = 0$

Etapa 11.1.3

Fatore $2 x^{8}$ de $- 126 x^{8}$ .

$2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Etapa 11.1.4

Fatore $2 x^{8}$ de $2 x^{8} (x^{2}) + 2 x^{8} (2 x)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63) = 0$

Etapa 11.1.5

Fatore $2 x^{8}$ de $2 x^{8} (x^{2} + 2 x) + 2 x^{8} (- 63)$ .

$2 x^{8} (x^{2} + 2 x - 63) = 0$

Etapa 11.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Fatore $x^{2} + 2 x - 63$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 63$ e cuja soma é $2$ .

$- 7, 9$

Etapa 11.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 x^{8} ((x - 7) (x + 9)) = 0$

Etapa 11.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{8} = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 9 = 0$

Etapa 13

Defina $x^{8}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $x^{8}$ como igual a $0$ .

$x^{8} = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x^{8} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Etapa 13.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[8]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{8}$ .

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Etapa 13.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 13.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 14

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 14.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 15

Defina $x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Defina $x + 9$ como igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Etapa 15.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 16

A solução final são todos os valores que tornam $2 x^{8} (x - 7) (x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 7, - 9$

Etapa 17