Matemática discreta Exemplos

$x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$0$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 0$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - 5 {(0)}^{4} + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 - 5 \cdot 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4.1.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 0 + 5 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4.1.7

Multiplique $5$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 {(0)}^{2} + 36 (0)$

Etapa 4.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 36 (0)$

Etapa 4.1.9

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 36 (0)$

Etapa 4.1.10

Multiplique $36$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Etapa 4.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + 0$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 4.2.4

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.5

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 5

Como $0$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 0$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x}{x + 0}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$
	$1$	$- 1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 5)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(5)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 36)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(36)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Etapa 6.13

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(36)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$

Etapa 6.14

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$- 1$	$- 5$	$5$	$- 36$	$36$	$0$

Etapa 6.15

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{5} + - 1 x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + (- 36) x + 36$

Etapa 6.16

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} - 36 x + 36$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $x$ de $x^{5} - 5 x^{3} - 36 x$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $x$ de $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) - 36 x - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $x$ de $- 36 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$x (x^{4} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 5 u - 36) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $u^{2} - 5 u - 36$ usando o método AC.

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Etapa 7.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 36$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 9, 4$

Etapa 7.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 9) (u + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.8

Fatore.

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Etapa 7.1.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - x^{4} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.9

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 7.1.10

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 u + 36 = 0$

Etapa 7.1.11

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1.11.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 7.1.11.1.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + 5 (u) + 36 = 0$

Etapa 7.1.11.1.2

Reescreva $5$ como $- 4$ mais $9$

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} + (- 4 + 9) u + 36 = 0$

Etapa 7.1.11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Etapa 7.1.11.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1.11.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) - u^{2} - 4 u + 9 u + 36 = 0$

Etapa 7.1.11.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + u (- u - 4) - 9 (- u - 4) = 0$

Etapa 7.1.11.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 4$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- u - 4) (u - 9) = 0$

Etapa 7.1.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 7.1.13

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 7.1.14

Fatore.

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Etapa 7.1.14.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 7.1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 7.1.15

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ .

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Etapa 7.1.15.1

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 7.1.15.2

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(- x^{2} - 4) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4) = 0$

Etapa 7.1.15.3

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4)) + (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 4)$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x) (x^{2} + 4) - x^{2} - 4) = 0$

Etapa 7.1.16

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Etapa 7.1.17

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.17.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 7.1.17.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (x \cdot x^{2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Etapa 7.1.17.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 3) (x - 3) (x^{1 + 2} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Etapa 7.1.17.2

Some $1$ e $2$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + x \cdot 4 - x^{2} - 4) = 0$

Etapa 7.1.18

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} + 4 x - x^{2} - 4) = 0$

Etapa 7.1.19

Reordene os termos.

$(x + 3) (x - 3) (x^{3} - x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Etapa 7.1.20

Fatore.

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Etapa 7.1.20.1

Reescreva $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ em uma forma fatorada.

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Etapa 7.1.20.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1.20.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 3) (x - 3) ((x^{3} - x^{2}) + 4 x - 4) = 0$

Etapa 7.1.20.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} (x - 1) + 4 (x - 1)) = 0$

Etapa 7.1.20.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x^{2} + 4)) = 0$

Etapa 7.1.20.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7.6

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.6.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 7.6.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.6.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 7.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 7.6.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 7.6.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 7.6.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 7.6.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 7.6.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 7.6.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 7.6.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 7.6.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.6.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 7.6.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 7.6.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 7.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 0) (x + 3) (x - 3) (x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{6} - x^{5} - 5 x^{4} + 5 x^{3} - 36 x^{2} + 36 x$ .

$x = 0, - 3, 3, 1, 2 i, - 2 i$

Etapa 10