Matemática discreta Exemplos

$42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{1}{14}, \pm \frac{1}{21}, \pm \frac{1}{42}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{7}, \pm \frac{2}{21}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{7}, \pm \frac{4}{21}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{7}, \pm \frac{8}{21}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}, \pm \frac{16}{7}, \pm \frac{16}{21}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$42 {(- 4)}^{4} + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - 4$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$42 \cdot 256 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Etapa 4.1.2

Multiplique $42$ por $256$ .

$10752 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Etapa 4.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$10752 + 335 \cdot - 64 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Etapa 4.1.4

Multiplique $335$ por $- 64$ .

$10752 - 21440 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Etapa 4.1.5

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$10752 - 21440 + 663 \cdot 16 - 24 \cdot - 4 - 16$

Etapa 4.1.6

Multiplique $663$ por $16$ .

$10752 - 21440 + 10608 - 24 \cdot - 4 - 16$

Etapa 4.1.7

Multiplique $- 24$ por $- 4$ .

$10752 - 21440 + 10608 + 96 - 16$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $21440$ de $10752$ .

$- 10688 + 10608 + 96 - 16$

Etapa 4.2.2

Some $- 10688$ e $10608$ .

$- 80 + 96 - 16$

Etapa 4.2.3

Some $- 80$ e $96$ .

$16 - 16$

Etapa 4.2.4

Subtraia $16$ de $16$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16}{x + 4}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(42)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

	$42$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(42)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(- 168)$ sob o próximo termo no dividendo $(335)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$	$167$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(167)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(- 668)$ sob o próximo termo no dividendo $(663)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$	$- 5$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 5)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(20)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 24)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(- 4)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 16)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$42 x^{3} + 167 x^{2} + (- 5) x - 4$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Fatore $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{238095}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0\overline{714285}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{095238}, \pm 2, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{571428}$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $- 0.\overline{142857}$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.\overline{142857}$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $- 0.\overline{142857}$ no polinômio.

$42 {(- 0.\overline{142857})}^{3} + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $- 0.\overline{142857}$ à potência de $3$ .

$42 \cdot - 0.00291545 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique $42$ por $- 0.00291545$ .

$- 0.12244897 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Etapa 7.1.1.3.4

Eleve $- 0.\overline{142857}$ à potência de $2$ .

$- 0.12244897 + 167 \cdot 0.02040816 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $167$ por $0.02040816$ .

$- 0.12244897 + 3.40816326 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Etapa 7.1.1.3.6

Some $- 0.12244897$ e $3.40816326$ .

$3.28571428 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Etapa 7.1.1.3.7

Multiplique $- 5$ por $- 0.\overline{142857}$ .

$3.28571428 + 0.\overline{714285} - 4$

Etapa 7.1.1.3.8

Some $3.28571428$ e $0.\overline{714285}$ .

$4 - 4$

Etapa 7.1.1.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $- 0.\overline{142857}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $7 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4}{7 x + 1}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ por $7 x + 1$ .

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Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$7 x$

$1$

$42 x^{3}$

$167 x^{2}$

$5 x$

$4$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $42 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $7 x$ .

					$6 x^{2}$
	$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			+	$42 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $42 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $161 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$161 x^{2}$	+	$23 x$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $161 x^{2} + 23 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 28 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							-	$28 x$	-	$4$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 28 x - 4$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$
										$0$

Etapa 7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$6 x^{2} + 23 x - 4$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e cuja soma é $b = 23$ .

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Etapa 7.1.2.1.1.1

Fatore $23$ de $23 x$ .

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 (x) - 4) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.2

Reescreva $23$ como $- 1$ mais $24$

$(7 x + 1) (6 x^{2} + (- 1 + 24) x - 4) = 0$

Etapa 7.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(7 x + 1) (6 x^{2} - 1 x + 24 x - 4) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(7 x + 1) ((6 x^{2} - 1 x) + 24 x - 4) = 0$

Etapa 7.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(7 x + 1) (x (6 x - 1) + 4 (6 x - 1)) = 0$

Etapa 7.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $6 x - 1$ .

$(7 x + 1) ((6 x - 1) (x + 4)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$7 x + 1 = 0$

$6 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 7.3

Defina $7 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina $7 x + 1$ como igual a $0$ .

$7 x + 1 = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $7 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$7 x = - 1$

Etapa 7.3.2.2

Divida cada termo em $7 x = - 1$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Divida cada termo em $7 x = - 1$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Etapa 7.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Etapa 7.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{7}$

Etapa 7.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{7}$

Etapa 7.4

Defina $6 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $6 x - 1$ como igual a $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $6 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$6 x = 1$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $6 x = 1$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $6 x = 1$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Etapa 7.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, - 4$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x + 4) (x + \frac{1}{7}) (x - \frac{1}{6})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$ .

$x = - 4, - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}$

Etapa 10