Matemática discreta Exemplos

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Etapa 4.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$4 - 4 - 16 + 16$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$0 - 16 + 16$

Etapa 4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$- 16 + 16$

Etapa 4.2.3

Some $- 16$ e $16$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 16)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 16)$ sob o próximo termo no dividendo $(16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 16$

Etapa 7

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 16$ .

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Etapa 7.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

Etapa 7.2

Fatore $4$ de $- 16$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Etapa 7.3

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

Etapa 8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Etapa 10.1.3

Fatore $4$ de $- 16 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Etapa 10.1.4

Fatore $4$ de $16$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Etapa 10.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ .

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Etapa 10.1.6

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

Etapa 10.1.7

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Etapa 10.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 10.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

Etapa 10.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

Etapa 10.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Etapa 10.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Etapa 10.5

Fatore.

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Etapa 10.5.1

Fatore.

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Etapa 10.5.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Etapa 10.5.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 10.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 12

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 12.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 13

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 14

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 14.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2, 2$

Etapa 16