Matemática discreta Exemplos

$10 x - 25 - x^{2} < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$10 x - 25 - x^{2} = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $- 1$ de $10 x - 25 - x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 2.1.1.1

Mova $- 25$ .

$10 x - x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Reordene $10 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 10 x - 25 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $- 1$ de $10 x$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 25 = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$- (x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 10 x)$ .

$- (x^{2} - 10 x) - 1 \cdot 25 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 10 x) - 1 (25)$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 3

Divida cada termo em $- {(x - 5)}^{2} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- {(x - 5)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 3.2.2

Divida ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 5

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 5$

$x > 5$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$10 (0) - 25 - {(0)}^{2} < 0$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $- 25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$10 (8) - 25 - {(8)}^{2} < 0$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $- 9$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Verdadeiro

$x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 5$ ou $x > 5$

Etapa 9

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 10