Matemática discreta Exemplos

${(x + 7)}^{2} > 50 x - 27$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $50 x$ dos dois lados da desigualdade.

${(x + 7)}^{2} - 50 x > - 27$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva ${(x + 7)}^{2}$ como $(x + 7) (x + 7)$ .

$(x + 7) (x + 7) - 50 x > - 27$

Etapa 1.2.2

Expanda $(x + 7) (x + 7)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 7) + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Etapa 1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7) - 50 x > - 27$

Etapa 1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Etapa 1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Etapa 1.2.3.1.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7 - 50 x > - 27$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $7$ por $7$ .

$x^{2} + 7 x + 7 x + 49 - 50 x > - 27$

Etapa 1.2.3.2

Some $7 x$ e $7 x$ .

$x^{2} + 14 x + 49 - 50 x > - 27$

Etapa 1.3

Subtraia $50 x$ de $14 x$ .

$x^{2} - 36 x + 49 > - 27$

Etapa 2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Some $27$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} - 36 x + 49 + 27 > 0$

Etapa 2.2

Some $49$ e $27$ .

$x^{2} - 36 x + 76 > 0$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 36 x + 76 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 36$ e $c = 76$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 76)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $992$ como $4^{2} \cdot 62$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Fatore $16$ de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $992$ como $4^{2} \cdot 62$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Fatore $16$ de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Etapa 7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 18 + 2 \sqrt{62}$

Etapa 8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 76$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $76$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 304}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.3

Subtraia $304$ de $1296$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{992}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4

Reescreva $992$ como $4^{2} \cdot 62$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1

Fatore $16$ de $992$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{16 (62)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{36 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 62}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique $\frac{36 \pm 4 \sqrt{62}}{2}$ .

$x = 18 \pm 2 \sqrt{62}$

Etapa 8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 18 - 2 \sqrt{62}$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 18 + 2 \sqrt{62}, 18 - 2 \sqrt{62}$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 18 - 2 \sqrt{62}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${((0) + 7)}^{2} > 50 (0) - 27$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $49$ é maior do que o lado direito $- 27$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

${((5) + 7)}^{2} > 50 (5) - 27$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $144$ não é maior do que o lado direito $223$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 18 + 2 \sqrt{62}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 36$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $36$ na desigualdade original.

${((36) + 7)}^{2} > 50 (36) - 27$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $1849$ é maior do que o lado direito $1773$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Verdadeiro

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Falso

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Verdadeiro

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ Verdadeiro

$18 - 2 \sqrt{62} < x < 18 + 2 \sqrt{62}$ Falso

$x > 18 + 2 \sqrt{62}$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 18 - 2 \sqrt{62}$ ou $x > 18 + 2 \sqrt{62}$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 18 - 2 \sqrt{62}) \cup (18 + 2 \sqrt{62}, \infty)$

Etapa 14