Matemática discreta Exemplos

$2 x^{2} + 9 x - 11 < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 9 x - 11 = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 11 = - 22$ e cuja soma é $b = 9$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$2 x^{2} + 9 (x) - 11 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $9$ como $- 2$ mais $11$

$2 x^{2} + (- 2 + 11) x - 11 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 2 x + 11 x - 11 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} - 2 x) + 11 x - 11 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (x - 1) + 11 (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 11) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 11 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Defina $2 x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 x + 11$ como igual a $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 x + 11 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 11$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 11$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 11$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{11}{2}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (2 x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{11}{2}$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{11}{2}$

$- \frac{11}{2} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{11}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{11}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 {(- 8)}^{2} + 9 (- 8) - 11 < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $45$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{11}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{11}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 9 (0) - 11 < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 11$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$2 {(4)}^{2} + 9 (4) - 11 < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $57$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{11}{2}$ Falso

$- \frac{11}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - \frac{11}{2}$ Falso

$- \frac{11}{2} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{11}{2} < x < 1$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{11}{2}, 1)$

Etapa 11