Matemática discreta Exemplos

$8 r^{3} - 64 r^{2} + r - 8$

Etapa 1

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (r) = 8 r^{3} - 64 r^{2} + r - 8$

Etapa 2

Como há $3$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $3$ raízes positivas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes positivas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $(3 - 2)$ ).

Raízes positivas: $3$ ou $1$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $r$ por $- r$ e repita a comparação de sinais.

$f (- r) = 8 {(- r)}^{3} - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Etapa 4

Simplifique o polinômio.

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Etapa 4.1

Remova os parênteses.

$f (- r) = 8 {(- r)}^{3} - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $- r$ .

$f (- r) = 8 ({(- 1)}^{3} r^{3}) - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- r) = 8 (- r^{3}) - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 {(- r)}^{2} - r - 8$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra do produto a $- r$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 ({(- 1)}^{2} r^{2}) - r - 8$

Etapa 4.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 (1 r^{2}) - r - 8$

Etapa 4.2.6

Multiplique $r^{2}$ por $1$ .

$f (- r) = - 8 r^{3} - 64 r^{2} - r - 8$

Etapa 5

Como há $0$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $0$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes).

Raízes negativas: $0$

Etapa 6

O número possível de raízes positivas é $3$ ou $1$ , e o número possível de raízes negativas é $0$ .

Raízes positivas: $3$ ou $1$

Raízes negativas: $0$