Matemática discreta Exemplos

$x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 18$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$3 x^{3} - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{3} - 9 x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $3 x$ de $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Etapa 1.5

Fatore $u^{2} + 3 u - 18$ usando o método AC.

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Etapa 1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $3$ .

$- 3, 6$

Etapa 1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 1.7

Fatore $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $x^{2} - 3$ de $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Etapa 1.7.2

Fatore $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + x^{2} + 6) = 0$

Etapa 1.8

Reordene os termos.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Etapa 3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 4

Defina $x^{2} + 3 x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} + 3 x + 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} + 3 x + 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Etapa 4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.3

Subtraia $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.4

Reescreva $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 4.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Etapa 4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.3

Subtraia $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.4

Reescreva $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{15})}{2}$

Etapa 4.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{15})}{2}$

Etapa 4.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 4.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Etapa 4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.5.1.3

Subtraia $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.5.1.4

Reescreva $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{15})}{2}$

Etapa 4.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{15})}{2}$

Etapa 4.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Etapa 6