Matemática discreta Exemplos

$x^{3} - 14 x - 8 = 0$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(4)}^{3} - 14 \cdot 4 - 8$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 4$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 14 \cdot 4 - 8$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 14$ por $4$ .

$64 - 56 - 8$

Etapa 4.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $56$ de $64$ .

$8 - 8$

Etapa 4.2.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 14 x - 8}{x - 4}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$
	$1$	$4$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 14)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$2$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$	$8$
	$1$	$4$	$2$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$0$	$- 14$	$- 8$
		$4$	$16$	$8$
	$1$	$4$	$2$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 4 x + 2$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 4 x + 2$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

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Etapa 7.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 7.3.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 7.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 7.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 7.4.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{2}$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 7.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 7.5.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{2}$

Etapa 7.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 4) (x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2})$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{3} - 14 x - 8$ .

$x = 4, - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 4, - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 4, - 0.58578643 \dots, - 3.41421356 \dots$

Etapa 11