Matemática discreta Exemplos

$t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $t = - 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$1 + 2 + 2 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 - 15$

Etapa 4.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 2 + 2 \cdot 1 - 10 \cdot - 1 - 15$

Etapa 4.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + 2 + 2 - 10 \cdot - 1 - 15$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$1 + 2 + 2 + 10 - 15$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $2$ .

$3 + 2 + 10 - 15$

Etapa 4.2.2

Some $3$ e $2$ .

$5 + 10 - 15$

Etapa 4.2.3

Some $5$ e $10$ .

$15 - 15$

Etapa 4.2.4

Subtraia $15$ de $15$ .

$0$

Etapa 5

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $t + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{t^{4} - 2 t^{3} + 2 t^{2} - 10 t - 15}{t + 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 3)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$5$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 10)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 15)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 15)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$1$	$- 2$	$2$	$- 10$	$- 15$
		$- 1$	$3$	$- 5$	$15$
	$1$	$- 3$	$5$	$- 15$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 t^{3} + - 3 t^{2} + (5) t - 15$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$t^{3} - 3 t^{2} + 5 t - 15$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(t + 1) (t^{3} - 3 t^{2}) + 5 t - 15$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(t + 1) + t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

$(t + 1) t^{2} (t - 3) + 5 (t - 3)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $t - 3$ .

$(t + 1) (t - 3) (t^{2} + 5)$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Reagrupe os termos.

$- 2 t^{3} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Etapa 9.2

Fatore $- 2 t$ de $- 2 t^{3} - 10 t$ .

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Etapa 9.2.1

Fatore $- 2 t$ de $- 2 t^{3}$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 10 t + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 2 t$ de $- 10 t$ .

$- 2 t \cdot t^{2} - 2 t \cdot 5 + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 2 t$ de $- 2 t (t^{2}) - 2 t (5)$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + t^{4} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Etapa 9.3

Reescreva $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} - 15 = 0$

Etapa 9.4

Deixe $u = t^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + u^{2} + 2 u - 15 = 0$

Etapa 9.5

Fatore $u^{2} + 2 u - 15$ usando o método AC.

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Etapa 9.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 9.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 t (t^{2} + 5) + (u - 3) (u + 5) = 0$

Etapa 9.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Etapa 9.7

Fatore $t^{2} + 5$ de $- 2 t (t^{2} + 5) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

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Etapa 9.7.1

Fatore $t^{2} + 5$ de $- 2 t (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} - 3) (t^{2} + 5) = 0$

Etapa 9.7.2

Fatore $t^{2} + 5$ de $(t^{2} - 3) (t^{2} + 5)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3) = 0$

Etapa 9.7.3

Fatore $t^{2} + 5$ de $(t^{2} + 5) (- 2 t) + (t^{2} + 5) (t^{2} - 3)$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 t + t^{2} - 3) = 0$

Etapa 9.8

Deixe $u = t$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $t$ .

$(t^{2} + 5) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Etapa 9.9

Fatore $- 2 u + u^{2} - 3$ usando o método AC.

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Etapa 9.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 9.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(t^{2} + 5) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Etapa 9.10

Fatore.

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Etapa 9.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t$ .

$(t^{2} + 5) ((t - 3) (t + 1)) = 0$

Etapa 9.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

$t - 3 = 0$

$t + 1 = 0$

Etapa 11

Defina $t^{2} + 5$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 11.1

Defina $t^{2} + 5$ como igual a $0$ .

$t^{2} + 5 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $t^{2} + 5 = 0$ para $t$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$t^{2} = - 5$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = i \sqrt{5}$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - i \sqrt{5}$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Etapa 12

Defina $t - 3$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 12.1

Defina $t - 3$ como igual a $0$ .

$t - 3 = 0$

Etapa 12.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$t = 3$

Etapa 13

Defina $t + 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 13.1

Defina $t + 1$ como igual a $0$ .

$t + 1 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$t = - 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(t^{2} + 5) (t - 3) (t + 1) = 0$ verdadeiro.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 3, - 1$

Etapa 15