Matemática discreta Exemplos

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{1}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Etapa 4.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Etapa 4.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Etapa 4.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Etapa 4.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Etapa 4.1.8

Combine $15$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.1

Some $1$ e $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $16$ por $4$ .

$- 4 + 4$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{1}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(16)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(\frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Etapa 7

Fatore $2$ de $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $8$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Etapa 8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Etapa 10

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 11

Fatore por agrupamento.

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Etapa 11.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ e cuja soma é $b = 15$ .

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Etapa 11.1.1

Fatore $15$ de $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Etapa 11.1.2

Reescreva $15$ como $- 1$ mais $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Etapa 11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Etapa 11.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 11.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Etapa 11.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Etapa 11.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Etapa 13

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 13.1

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $4 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 13.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 u = 1$

Etapa 13.2.2

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 13.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 13.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 13.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 13.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Etapa 14

Defina $u + 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 14.1

Defina $u + 4$ como igual a $0$ .

$u + 4 = 0$

Etapa 14.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$u = - 4$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Etapa 16

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Etapa 17

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 18

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 18.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 18.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 18.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 18.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 18.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 18.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 18.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 18.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 18.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 18.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 19

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Etapa 20

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 20.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 4$

Etapa 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 20.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 20.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 20.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 20.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 20.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 20.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 20.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 20.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 20.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 20.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 20.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 21

A solução para $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ é $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Etapa 22