Matemática discreta Exemplos

$4 r^{2} + 20 r + 25$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $r = - \frac{5}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.6.2

Reescreva a expressão.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{2}$ para o numerador.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $2$ de $20$ .

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

Etapa 4.1.7.3

Cancele o fator comum.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

Etapa 4.1.7.4

Reescreva a expressão.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

Etapa 4.1.8

Multiplique $10$ por $- 5$ .

$25 - 50 + 25$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $50$ de $25$ .

$- 25 + 25$

Etapa 4.2.2

Some $- 25$ e $25$ .

$0$

Etapa 5

Como $- \frac{5}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $r + \frac{5}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(- 10)$ sob o próximo termo no dividendo $(20)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(10)$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(- 25)$ sob o próximo termo no dividendo $(25)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

Etapa 6.7

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$(4) r + 10$

Etapa 6.8

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 r + 10$

Etapa 7

Fatore $2$ de $4 r + 10$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4 r$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $10$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $2 (2 r) + 2 (5)$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

Etapa 8

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 8.1

Reescreva $4 r^{2}$ como ${(2 r)}^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

Etapa 8.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

Etapa 8.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

Etapa 8.4

Reescreva o polinômio.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Etapa 8.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 2 r$ e $b = 5$ .

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

Etapa 9

Defina $2 r + 5$ como igual a $0$ .

$2 r + 5 = 0$

Etapa 10

Resolva $r$ .

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Etapa 10.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 r = - 5$

Etapa 10.2

Divida cada termo em $2 r = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $2 r = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

Etapa 10.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{5}{2}$

Etapa 11