Matemática discreta Exemplos

$2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - {(1)}^{3} - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 - 1 \cdot 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 - 73 {(1)}^{2} + 36 (1) + 36$

Etapa 4.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 - 1 - 73 \cdot 1 + 36 (1) + 36$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 73$ por $1$ .

$2 - 1 - 73 + 36 (1) + 36$

Etapa 4.1.7

Multiplique $36$ por $1$ .

$2 - 1 - 73 + 36 + 36$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 - 73 + 36 + 36$

Etapa 4.2.2

Subtraia $73$ de $1$ .

$- 72 + 36 + 36$

Etapa 4.2.3

Some $- 72$ e $36$ .

$- 36 + 36$

Etapa 4.2.4

Some $- 36$ e $36$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 73 x^{2} + 36 x + 36}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$
	$2$	$1$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 73)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 72$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 72)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 72)$ sob o próximo termo no dividendo $(36)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 36)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 36)$ sob o próximo termo no dividendo $(36)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$- 1$	$- 73$	$36$	$36$
		$2$	$1$	$- 72$	$- 36$
	$2$	$1$	$- 72$	$- 36$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 72) x - 36$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{3} + x^{2} - 72 x - 36$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 72 x - 36$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 36 (2 x + 1)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 36)$

Etapa 9

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 6^{2})$

Etapa 10

Fatore.

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Etapa 10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 6) (x - 6))$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6) (x - 6)$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.2

Fatore $- x$ de $- x^{3} + 36 x$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 36 x + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.2.2

Fatore $- x$ de $36 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 36 + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.2.3

Fatore $- x$ de $- x (x^{2}) - x (- 36)$ .

$- x (x^{2} - 36) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- x (x^{2} - 6^{2}) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.4

Fatore.

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Etapa 11.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$- x ((x + 6) (x - 6)) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 x^{4} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 {(x^{2})}^{2} - 73 x^{2} + 36 = 0$

Etapa 11.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

Etapa 11.7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 11.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 36 = 72$ e cuja soma é $b = - 73$ .

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Etapa 11.7.1.1

Fatore $- 73$ de $- 73 u$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 73 u + 36 = 0$

Etapa 11.7.1.2

Reescreva $- 73$ como $- 1$ mais $- 72$

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} + (- 1 - 72) u + 36 = 0$

Etapa 11.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

Etapa 11.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 11.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x (x + 6) (x - 6) + 2 u^{2} - 1 u - 72 u + 36 = 0$

Etapa 11.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x (x + 6) (x - 6) + u (2 u - 1) - 36 (2 u - 1) = 0$

Etapa 11.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 u - 1) (u - 36) = 0$

Etapa 11.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 36) = 0$

Etapa 11.9

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Etapa 11.10

Fatore.

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Etapa 11.10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Etapa 11.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

Etapa 11.11

Fatore $(x + 6) (x - 6)$ de $- x (x + 6) (x - 6) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ .

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Etapa 11.11.1

Fatore $(x + 6) (x - 6)$ de $- x (x + 6) (x - 6)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6) = 0$

Etapa 11.11.2

Fatore $(x + 6) (x - 6)$ de $(2 x^{2} - 1) (x + 6) (x - 6)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 11.11.3

Fatore $(x + 6) (x - 6)$ de $(x + 6) (x - 6) (- x) + (x + 6) (x - 6) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 6) (x - 6) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 11.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 6) (x - 6) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Etapa 11.13

Fatore por agrupamento.

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Etapa 11.13.1

Reordene os termos.

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Etapa 11.13.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 11.13.2.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Etapa 11.13.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Etapa 11.13.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 11.13.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$(x + 6) (x - 6) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 11.13.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 11.13.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 6) (x - 6) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Etapa 11.13.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 6) (x - 6) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Etapa 11.13.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$(x + 6) (x - 6) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 11.14

Fatore.

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Etapa 11.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 6) (x - 6) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 11.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 13

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 14

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 14.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 15

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 15.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 15.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 15.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 15.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 15.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 15.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 15.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 15.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 15.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 16

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 16.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 16.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 17

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 6) (x - 6) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 6, 6, - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 18