Matemática discreta Exemplos

$| 2 x - 4 | < | x - 1 |$

Etapa 1

Substitua $<$ por $=$ em $| 2 x - 4 | < | x - 1 |$ .

$| 2 x - 4 | = | x - 1 |$

Etapa 2

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

$- (2 x - 4) = x - 1$

$- (2 x - 4) = - (x - 1)$

Etapa 3

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$2 x - 4 = x - 1$

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Etapa 4

Resolva $2 x - 4 = x - 1$ para $x$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x - 4 - x = - 1$

Etapa 4.1.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$x - 4 = - 1$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = - 1 + 4$

Etapa 4.2.2

Some $- 1$ e $4$ .

$x = 3$

Etapa 5

Resolva $2 x - 4 = - (x - 1)$ para $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $- (x - 1)$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$2 x - 4 = 0 + 0 - (x - 1)$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$2 x - 4 = - (x - 1)$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 4 = - x - - 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x - 4 = - x + 1$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$2 x - 4 + x = 1$

Etapa 5.2.2

Some $2 x$ e $x$ .

$3 x - 4 = 1$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1 + 4$

Etapa 5.3.2

Some $1$ e $4$ .

$3 x = 5$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 x = 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Etapa 6

Liste todas as soluções.

$x = 3, \frac{5}{3}$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 3$

$x > 3$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{5}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{5}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$| 2 (0) - 4 | < | (0) - 1 |$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $4$ não é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $\frac{5}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$| 2 (2) - 4 | < | (2) - 1 |$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$| 2 (6) - 4 | < | (6) - 1 |$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $8$ não é menor do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{5}{3}$ Falso

$\frac{5}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < \frac{5}{3}$ Falso

$\frac{5}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{5}{3} < x < 3$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(\frac{5}{3}, 3)$

Etapa 11