Matemática discreta Exemplos

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

Etapa 1

Escreva $| x^{2} - 5 | < 4 x$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x^{2} - 5 \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $5$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \geq 5$

Etapa 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \geq \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4

Escreva $| x | \geq \sqrt{5}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 1.2.4.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \geq \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 1.2.4.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 1.2.5

Encontre a intersecção de $x \geq \sqrt{5}$ e $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

Etapa 1.2.6

Divida cada termo em $- x \geq \sqrt{5}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Divida cada termo em $- x \geq \sqrt{5}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

Etapa 1.2.6.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{5}$ como $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

Etapa 1.2.7

Encontre a união das soluções.

$x \leq - \sqrt{5}$ ou $x \geq \sqrt{5}$

Etapa 1.3

Na parte em que $x^{2} - 5$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x^{2} - 5 < 4 x$

Etapa 1.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x^{2} - 5 < 0$

Etapa 1.5

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Some $5$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} < 5$

Etapa 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

Etapa 1.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | < \sqrt{5}$

Etapa 1.5.4

Escreva $| x | < \sqrt{5}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 1.5.4.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x < \sqrt{5}$

Etapa 1.5.4.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 1.5.4.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x < \sqrt{5}$

Etapa 1.5.4.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 1.5.5

Encontre a intersecção de $x < \sqrt{5}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

Etapa 1.5.6

Resolva $- x < \sqrt{5}$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Divida cada termo em $- x < \sqrt{5}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1.1

Divida cada termo em $- x < \sqrt{5}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Etapa 1.5.6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Etapa 1.5.6.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Etapa 1.5.6.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

Etapa 1.5.6.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{5}$ como $- \sqrt{5}$ .

$x > - \sqrt{5}$

Etapa 1.5.6.2

Encontre a intersecção de $x > - \sqrt{5}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

Etapa 1.5.7

Encontre a união das soluções.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

Etapa 1.6

Na parte em que $x^{2} - 5$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

Etapa 1.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Etapa 1.8

Simplifique $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

Etapa 2

Resolva $x^{2} - 5 < 4 x$ quando $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $x^{2} - 5 < 4 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

Etapa 2.1.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{2} - 5 - 4 x$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 2.1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Etapa 2.1.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.1.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.1.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.1.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 1$

Etapa 2.1.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 2.1.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.1.9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

Etapa 2.1.9.1.3

O lado esquerdo $11$ não é menor do que o lado direito $- 16$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.1.9.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.1.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

Etapa 2.1.9.2.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.1.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 2.1.9.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

Etapa 2.1.9.3.3

O lado esquerdo $59$ não é menor do que o lado direito $32$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.1.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 2.1.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < x < 5$

Etapa 2.2

Encontre a intersecção de $- 1 < x < 5$ e $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

Etapa 3

Resolva $- x^{2} + 5 < 4 x$ quando $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $- x^{2} + 5 < 4 x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

Etapa 3.1.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 5 - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.3

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 3.1.3.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Etapa 3.1.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.2.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 5$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 3.1.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 3.1.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Etapa 3.1.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 3.1.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.1.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.1.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.1.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.1.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 5$

Etapa 3.1.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 3.1.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 3.1.9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

Etapa 3.1.9.1.3

O lado esquerdo $- 59$ é menor do que o lado direito $- 32$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3.1.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

Etapa 3.1.9.2.3

O lado esquerdo $5$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.1.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 3.1.9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

Etapa 3.1.9.3.3

O lado esquerdo $- 11$ é menor do que o lado direito $16$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 3.1.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $x > 1$

Etapa 3.2

Encontre a intersecção de $x < - 5 or x > 1$ e $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

Etapa 4

Encontre a união das soluções.

$1 < x < 5$

Etapa 5

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(1, 5)$

Etapa 6