Matemática discreta Exemplos

$x^{2} + 3 x + 8 > 3 - 3 x$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1

Some $3 x$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} + 3 x + 8 + 3 x > 3$

Etapa 1.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 8 > 3$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 6 x + 8 = 3$

Etapa 3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x + 8 - 3 = 0$

Etapa 4

Subtraia $3$ de $8$ .

$x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Etapa 5

Fatore $x^{2} + 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $6$ .

$1, 5$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x + 5) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 5$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$x > - 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{2} + 3 (- 8) + 8 > 3 - 3 \cdot - 8$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $48$ é maior do que o lado direito $27$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{2} + 3 (- 3) + 8 > 3 - 3 \cdot - 3$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $8$ não é maior do que o lado direito $12$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 3 (0) + 8 > 3 - 3 \cdot 0$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $x > - 1$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 14