Matemática discreta Exemplos

$x + \frac{12}{x} < 7$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $x + \frac{12}{x} < 7$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $x + \frac{12}{x} < 7$ por $x$ .

$x \cdot x + \frac{12}{x} x < 7 x$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Etapa 2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 12 < 7 x$

Etapa 3

Resolva a desigualdade.

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Etapa 3.1

Subtraia $7 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} + 12 - 7 x < 0$

Etapa 3.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 12 - 7 x = 0$

Etapa 3.3

Fatore $x^{2} + 12 - 7 x$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 4, - 3$

Etapa 3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x - 3) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 3$

Etapa 4

Encontre o domínio de $x + \frac{12}{x} - 7$ .

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{12}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) + \frac{12}{- 2} < 7$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $- 8$ é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(2) + \frac{12}{2} < 7$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $8$ não é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3.5$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $3.5$ na desigualdade original.

$(3.5) + \frac{12}{3.5} < 7$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $6.9\overline{285714}$ é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(6) + \frac{12}{6} < 7$

Etapa 6.4.3

O lado esquerdo $8$ não é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$3 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $3 < x < 4$

Etapa 8

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 0) \cup (3, 4)$

Etapa 9