Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3} > 0$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra do produto a ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x - 3}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 2)}^{1} {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.3

Simplifique.

$(x + 2) {\sqrt{x - 3}}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{x - 3}}^{2}$ como $x - 3$ .

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Etapa 2.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 2) {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$(x + 2) {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$(x + 2) {(x - 3)}^{1} > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.4.5

Simplifique.

$(x + 2) (x - 3) > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5

Expanda $(x + 2) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 3) + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3) > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.6.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3 > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.6.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 > 0^{2}$

Etapa 2.2.1.6.2

Some $- 3 x$ e $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 > 0^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} - x - 6 > 0$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 2$

Etapa 4

Encontre o domínio de $\sqrt{x + 2} \sqrt{x - 3}$ .

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Etapa 4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 2 \geq 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 2$

Etapa 4.3

Defina o radicando em $\sqrt{x - 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 3 \geq 0$

Etapa 4.4

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 3$

Etapa 4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[3, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\sqrt{(- 4) + 2} \sqrt{(- 4) - 3} > 0$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $3.74165738$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt{(0) + 2} \sqrt{(0) - 3} > 0$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\sqrt{(6) + 2} \sqrt{(6) - 3} > 0$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $4.89897948$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $x > 3$

Etapa 8

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Etapa 9