Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Etapa 1

Subtraia $y$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$4 y, 3, 1, 1$

Etapa 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 2.5

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.7

O MMC de $4, 3, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Etapa 2.8

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Etapa 2.8.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$12$

Etapa 2.9

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O MMC de $y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 2.11

O MMC de $4 y, 3, 1, 1$ é a parte numérica $12$ multiplicada pela parte variável.

$12 y$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ por $12 y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ por $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.2.2

Fatore $4$ de $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.5.2

Fatore $3$ de $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.8

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.8.1

Mova $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.8.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Etapa 3.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Etapa 4

Resolva a desigualdade.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $24 y$ dos dois lados da desigualdade.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Etapa 4.1.2

Subtraia $24 y$ de $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Etapa 4.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = - 12$ , $b = - 28$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 28$ à potência de $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $48$ por $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5.1.3

Some $784$ e $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva $928$ como $4^{2} \cdot 58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.4.1

Fatore $16$ de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Etapa 4.5.3

Simplifique $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Etapa 4.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Eleve $- 28$ à potência de $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.6.1.2.2

Multiplique $48$ por $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.6.1.3

Some $784$ e $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.6.1.4

Reescreva $928$ como $4^{2} \cdot 58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.4.1

Fatore $16$ de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.6.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Etapa 4.6.3

Simplifique $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Etapa 4.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Etapa 4.6.5

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Etapa 4.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 4.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.1

Eleve $- 28$ à potência de $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.7.1.2.2

Multiplique $48$ por $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.7.1.3

Some $784$ e $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.7.1.4

Reescreva $928$ como $4^{2} \cdot 58$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.4.1

Fatore $16$ de $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.7.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Etapa 4.7.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Etapa 4.7.3

Simplifique $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Etapa 4.7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Etapa 4.7.5

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Etapa 4.8

Consolide as soluções.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Etapa 5

Encontre o domínio de $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{1}{4 y}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 y = 0$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $4 y = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $4 y = 0$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$y = 0$

Etapa 5.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 5$

Etapa 7.1.2

Substitua $y$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $- 0.38\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $- 3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 1$

Etapa 7.2.2

Substitua $y$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $- 0.58\overline{3}$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 0.05$

Etapa 7.3.2

Substitua $y$ por $0.05$ na desigualdade original.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $4.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $2.05$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.4

Teste um valor no intervalo $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Escolha um valor no intervalo $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 3$

Etapa 7.4.2

Substitua $y$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Etapa 7.4.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Verdadeiro

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falso

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Verdadeiro

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Verdadeiro

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falso

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ ou $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Etapa 9

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Etapa 10