Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 5}{x - 3} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 5$

$x = 3$

Etapa 5

Consolide as soluções.

$x = 5, 3$

Etapa 6

Encontre o domínio de $\frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{x - 5}{x - 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 5}{(0) - 3} < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $1.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $3 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) - 5}{(4) - 3} < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{(8) - 5}{(8) - 3} < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $0.6$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < 3$ Falso

$3 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$3 < x < 5$

Etapa 10

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(3, 5)$

Etapa 11