Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 3}{x - 18} > 3$

Etapa 1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 3}{x - 18} - 3 > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 3}{x - 18} - 3$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 3}{x - 18} - 3 \cdot \frac{x - 18}{x - 18} > 0$

Etapa 2.2

Combine $- 3$ e $\frac{x - 18}{x - 18}$ .

$\frac{x - 3}{x - 18} + \frac{- 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 - 3 (x - 18)}{x - 18} > 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 - 3 x - 3 \cdot - 18}{x - 18} > 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 18$ .

$\frac{x - 3 - 3 x + 54}{x - 18} > 0$

Etapa 2.4.3

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 x - 3 + 54}{x - 18} > 0$

Etapa 2.4.4

Some $- 3$ e $54$ .

$\frac{- 2 x + 51}{x - 18} > 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) + 51}{x - 18} > 0$

Etapa 2.6

Reescreva $51$ como $- 1 (- 51)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (- 51)}{x - 18} > 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 51)$ .

$\frac{- (2 x - 51)}{x - 18} > 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (2 x - 51)$ como $- 1 (2 x - 51)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 51)}{x - 18} > 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x - 51}{x - 18} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x - 51 = 0$

$x - 18 = 0$

Etapa 4

Some $51$ aos dois lados da equação.

$2 x = 51$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = 51$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = 51$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{51}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{51}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{51}{2}$

Etapa 6

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x = 18$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{51}{2}$

$x = 18$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = \frac{51}{2}, 18$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{2 x - 51}{x - 18}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 51}{x - 18}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 18 = 0$

Etapa 9.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x = 18$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 18$

$18 < x < \frac{51}{2}$

$x > \frac{51}{2}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 18$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 18$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 18} > 3$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.1\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $18 < x < \frac{51}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $18 < x < \frac{51}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 22$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $22$ na desigualdade original.

$\frac{(22) - 3}{(22) - 18} > 3$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $4.75$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{51}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{51}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 28$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $28$ na desigualdade original.

$\frac{(28) - 3}{(28) - 18} > 3$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $2.5$ não é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 18$ Falso

$18 < x < \frac{51}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{51}{2}$ Falso

$x < 18$ Falso

$18 < x < \frac{51}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{51}{2}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$18 < x < \frac{51}{2}$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(18, \frac{51}{2})$

Etapa 14