Matemática discreta Exemplos

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 < 20$

Etapa 1

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 1.1

Subtraia $20$ dos dois lados da desigualdade.

$- 5 x^{2} + 22 x + 0.5 - 20 < 0$

Etapa 1.2

Subtraia $20$ de $0.5$ .

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 < 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 5 x^{2} + 22 x - 19.5 = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = - 5$ , $b = 22$ e $c = - 19.5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 19.5)}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $22$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $20$ por $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $22$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $20$ por $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Etapa 6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Eleve $22$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 5 \cdot - 19.5$ .

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 + 20 \cdot - 19.5}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $20$ por $- 19.5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 390}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $390$ de $484$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$x = \frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{- 22 \pm \sqrt{94}}{- 10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{94}}{10}$

Etapa 7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = \frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- 5 {(0)}^{2} + 22 (0) + 0.5 < 20$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $0.5$ é menor do que o lado direito $20$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$- 5 {(2)}^{2} + 22 (2) + 0.5 < 20$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $24.5$ não é menor do que o lado direito $20$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$- 5 {(6)}^{2} + 22 (6) + 0.5 < 20$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 47.5$ é menor do que o lado direito $20$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Verdadeiro

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Falso

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Verdadeiro

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ Verdadeiro

$\frac{22 - \sqrt{94}}{10} < x < \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Falso

$x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{22 - \sqrt{94}}{10}$ ou $x > \frac{22 + \sqrt{94}}{10}$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, \frac{22 - \sqrt{94}}{10}) \cup (\frac{22 + \sqrt{94}}{10}, \infty)$

Etapa 13