Matemática discreta Exemplos

$4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x > 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x$ de $4 x^{3} + 21 x^{2} + 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$x (4 x^{2}) + 21 x^{2} + 5 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $21 x^{2}$ .

$x (4 x^{2}) + x (21 x) + 5 x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $5 x$ .

$x (4 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 5 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $x (4 x^{2}) + x (21 x)$ .

$x (4 x^{2} + 21 x) + x \cdot 5 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $x$ de $x (4 x^{2} + 21 x) + x \cdot 5$ .

$x (4 x^{2} + 21 x + 5) = 0$

Etapa 2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ e cuja soma é $b = 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $21$ de $21 x$ .

$x (4 x^{2} + 21 (x) + 5) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva $21$ como $1$ mais $20$

$x (4 x^{2} + (1 + 20) x + 5) = 0$

Etapa 2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (4 x^{2} + 1 x + 20 x + 5) = 0$

Etapa 2.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x (4 x^{2} + x + 20 x + 5) = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x ((4 x^{2} + x) + 20 x + 5) = 0$

Etapa 2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x (4 x + 1) + 5 (4 x + 1)) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x + 1$ .

$x ((4 x + 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (4 x + 1) (x + 5) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $4 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $4 x + 1$ como igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $4 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $4 x = - 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $x (4 x + 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{1}{4}, - 5$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$

$- \frac{1}{4} < x < 0$

$x > 0$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$4 {(- 8)}^{3} + 21 {(- 8)}^{2} + 5 (- 8) > 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 744$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$4 {(- 3)}^{3} + 21 {(- 3)}^{2} + 5 (- 3) > 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $66$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{4} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{4} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.12$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $- 0.12$ na desigualdade original.

$4 {(- 0.12)}^{3} + 21 {(- 0.12)}^{2} + 5 (- 0.12) > 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 0.304512$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$4 {(2)}^{3} + 21 {(2)}^{2} + 5 (2) > 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $126$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{4} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{4} < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 < x < - \frac{1}{4}$ ou $x > 0$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 5, - \frac{1}{4}) \cup (0, \infty)$

Etapa 12