Matemática discreta Exemplos

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva $\frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ como $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.2

Simplifique $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ movendo $\frac{2}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.3

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.7

Simplifique $2 \log_{b} (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)$

Etapa 2.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 2.1.4.1

Fatore $3$ de $9 \cdot 4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $3 \cdot 4$ por $1$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

Etapa 2.1.5

Multiplique $3$ por $4$ .

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x = 12$