Matemática discreta Exemplos

$\log_{b} (x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (4) + \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) - \log_{b} (6)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log_{b} (4)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2}{3} \log_{b} (27) - \log_{b} (6)$

Etapa 1.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $\log_{b} (27)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$ por $6$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} - \log_{b} (6)$ por $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $6$ para a esquerda de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 (3)) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (4) \cdot 3 + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\log_{b} (4)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2)) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 2 \log_{b} (27) \cdot 2 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $6 \log_{b} (x)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Simplifique $3 \log_{b} (4)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4^{3}) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + 4 \log_{b} (27) - 6 \log_{b} (6)$

Etapa 4.1.1.3

Simplifique $4 \log_{b} (27)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (27^{4}) - 6 \log_{b} (6)$

Etapa 4.1.1.4

Eleve $27$ à potência de $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - 6 \log_{b} (6)$

Etapa 4.1.1.5

Simplifique $- 6 \log_{b} (6)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - \log_{b} (6^{6})$

Etapa 4.1.1.6

Eleve $6$ à potência de $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (531441) - \log_{b} (46656)$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64 \cdot 531441) - \log_{b} (46656)$

Etapa 4.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{46656})$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $64$ e $46656$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $64$ de $64 \cdot 531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (531441)}{46656})$

Etapa 4.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.4.2.1

Fatore $64$ de $46656$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{64 \cdot 729})$

Etapa 4.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 531441}{64 \cdot 729})$

Etapa 4.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{531441}{729})$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $531441$ e $729$ .

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $729$ de $531441$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729})$

Etapa 4.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.5.2.1

Fatore $729$ de $729$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729 (1)})$

Etapa 4.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729 \cdot 729}{729 \cdot 1})$

Etapa 4.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{729}{1})$

Etapa 4.1.5.2.4

Divida $729$ por $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

Etapa 5

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{6} = 729$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

Etapa 6.2

Simplifique $\pm \sqrt[6]{729}$ .

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Etapa 6.2.1

Reescreva $729$ como $3^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

Etapa 6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 6.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 6.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$