Matemática discreta Exemplos

$\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}}^{4} = x^{4}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35}$ como ${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(12 x^{2} - 35)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(12 x^{2} - 35)}^{1} = x^{4}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$12 x^{2} - 35 = x^{4}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $x^{4}$ dos dois lados da equação.

$12 x^{2} - 35 - x^{4} = 0$

Etapa 3.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$- u^{2} + 12 u - 35 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2} + 12 u - 35$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 12 u - 35 = 0$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $- 1$ de $12 u$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 35 = 0$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva $- 35$ como $- 1 (35)$ .

$- (u^{2}) - (- 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Etapa 3.3.1.4

Fatore $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 12 u)$ .

$- (u^{2} - 12 u) - 1 \cdot 35 = 0$

Etapa 3.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (u^{2} - 12 u) - 1 (35)$ .

$- (u^{2} - 12 u + 35) = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore.

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $u^{2} - 12 u + 35$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 7, - 5$

Etapa 3.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((u - 7) (u - 5)) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (u - 7) (u - 5) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Etapa 3.5

Defina $u - 7$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $u - 7$ como igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$u = 7$

Etapa 3.6

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (u - 7) (u - 5) = 0$ verdadeiro.

$u = 7, 5$

Etapa 3.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 7$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Etapa 3.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 7$

Etapa 3.10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Etapa 3.10.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.10.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{7}$

Etapa 3.10.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{7}$

Etapa 3.10.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 3.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 5$

Etapa 3.12

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 5$

Etapa 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 3.12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 3.12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 3.12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 3.13

A solução para $- x^{4} + 12 x^{2} - 35 = 0$ é $x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt[4]{12 x^{2} - 35} = x$ verdadeira.

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{7}, \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 2.64575131 \dots, 2.23606797 \dots$