Matemática discreta Exemplos

$\log_{5} (x + 20) + \log_{5} (x) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 20) x) = 3$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + 20 x) = 3$

Etapa 1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 20 x) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (x^{2} + 20 x) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + 20 x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 20 x = 5^{3}$ .

$x^{2} + 20 x = 5^{3}$

Etapa 3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$x^{2} + 20 x = 125$

Etapa 3.3

Subtraia $125$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 20 x - 125 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2} + 20 x - 125$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 125$ e cuja soma é $20$ .

$- 5, 25$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 25) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 25 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 3.7

Defina $x + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 25$ como igual a $0$ .

$x + 25 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$x = - 25$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 25) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 25$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (x + 20) + \log_{5} (x) = 3$ verdadeira.

$x = 5$