Matemática discreta Exemplos

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

Etapa 5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

Etapa 6

Multiplique $\frac{3 x + 1}{x + 2}$ por $\frac{x}{9 x - 4}$ .

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Etapa 7

Reordene os fatores em $\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ .

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

Etapa 8

Reescreva $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

Etapa 9

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

Etapa 10

Simplifique $2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

Etapa 10.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

Etapa 10.3

Expanda $(x + 2) (9 x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

Etapa 10.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

Etapa 10.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Etapa 10.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Etapa 10.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 10.4.1.2.1

Mova $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Etapa 10.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Etapa 10.4.1.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

Etapa 10.4.1.4

Multiplique $9$ por $2$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

Etapa 10.4.1.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

Etapa 10.4.2

Some $- 4 x$ e $18 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

Etapa 10.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6

Simplifique.

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Etapa 10.6.1

Multiplique $\frac{1}{4} (9 x^{2})$ .

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Etapa 10.6.1.1

Combine $9$ e $\frac{1}{4}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.1.2

Combine $\frac{9}{4}$ e $x^{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.2.2

Fatore $2$ de $14 x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.2.3

Cancele o fator comum.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.2.4

Reescreva a expressão.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.3

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.4

Combine $\frac{7}{2}$ e $x$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

Etapa 10.6.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.6.5.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

Etapa 10.6.5.2

Cancele o fator comum.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

Etapa 10.6.5.3

Reescreva a expressão.

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

Etapa 11

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.1

Subtraia $\frac{9 x^{2}}{4}$ dos dois lados da equação.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

Etapa 11.2

Subtraia $\frac{7 x}{2}$ dos dois lados da equação.

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.3.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.4.1

Mova $x$ .

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.3.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.4

Para escrever $3 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.5

Combine $3 x^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.7

Encontre o denominador comum.

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Etapa 11.7.1

Escreva $x$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.7.2

Multiplique $\frac{x}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.7.3

Multiplique $\frac{x}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

Etapa 11.7.4

Multiplique $\frac{7 x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

Etapa 11.7.5

Multiplique $\frac{7 x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

Etapa 11.7.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Etapa 11.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Etapa 11.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.9.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Etapa 11.9.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

Etapa 11.9.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

Etapa 11.10

Subtraia $14 x$ de $4 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Etapa 11.11

Subtraia $9 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

Etapa 11.12

Fatore $x$ de $3 x^{2} - 10 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.12.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

Etapa 11.12.2

Fatore $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

Etapa 11.12.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

Etapa 12

Multiplique os dois lados por $4$ .

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.1.1

Simplifique $\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ .

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Etapa 13.1.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 13.1.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 13.1.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

Etapa 13.1.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

Etapa 13.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Etapa 13.1.1.1.3

Reordene.

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Etapa 13.1.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

Etapa 13.1.1.1.3.2

Mova $- 10$ para a esquerda de $x$ .

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Etapa 13.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.2.1

Mova $x$ .

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

Etapa 13.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

Etapa 14

Resolva $x$ .

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Etapa 14.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Etapa 14.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 14.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 14.2.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Etapa 14.2.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 4$ mais $- 6$

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

Etapa 14.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

Etapa 14.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 14.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

Etapa 14.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

Etapa 14.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 14.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 14.4

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Etapa 14.4.2

Resolva $3 x - 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 14.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 14.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 14.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 14.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 14.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 14.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 14.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{4}{3}, 2$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{4}{3}, 2$

Forma decimal:

$x = 1.\overline{3}, 2$

Forma de número misto:

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$