Matemática discreta Exemplos

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = 5$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = 5$

Etapa 2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$7 u^{2} - 14 u + 2 - 5 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$7 u^{2} - 14 u - 3 = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 7$ , $b = - 14$ e $c = - 3$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot - 3)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 14$ à potência de $2$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 7 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 7 \cdot - 3$ .

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 28 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 28$ por $- 3$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 84}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.1.3

Some $196$ e $84$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{280}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.1.4

Reescreva $280$ como $2^{2} \cdot 70$ .

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Etapa 5.1.4.1

Fatore $4$ de $280$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{4 (70)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 70}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{70}}{7}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Etapa 7

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Etapa 8

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ .

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Etapa 9.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 10

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$ .

$x = - 0.19649053$

Etapa 10.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Etapa 10.4

Resolva $x$ .

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Etapa 10.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.19649053$

Etapa 10.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

Etapa 10.4.3

Some $3.14159265$ e $0.19649053$ .

$x = 3.33808319$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.6.1

Some $2 π$ com $- 0.19649053$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.19649053 + 2 π$

Etapa 10.6.2

Subtraia $0.19649053$ de $2 π$ .

$6.08669476$

Etapa 10.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 6.08669476$

Etapa 10.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Liste todas as soluções.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$